免费工具 标准差的计算公式与标准差计算器
把一组数粘进来：每行一个、空格或逗号隔开、从 Excel 复制一列都行。马上得到样本标准差和总体标准差、方差、平均数、中位数、众数、四分位数，下面还会把标准差计算公式代入你的数据，一步一步算给你看。
- 样本 s 和总体 σ
- 17 项描述统计
- 本地计算
粘贴你的数据
边输入边出结果。不是数字的内容会被跳过并列出来，表头、单位混进来也不影响计算。
用空格、换行、Tab、逗号（半角或全角）、分号、顿号隔开都可以；支持负数、小数、全角数字和「1.2万」。不要用千分位：「1,200」会被当成 1 和 200。
不同软件的四分位数算法不一样，选和你要对照的工具一致的那种。
计算结果
样本标准差 s
17.133
除以 n − 1，数据是抽样得来时用。Excel STDEV.S。
总体标准差 σ
16.254
除以 n，数据就是全部对象时用。Excel STDEV.P。
平均数 x̄
123
个数 n
10
样本方差 s²
293.56
总体方差 σ²
264.2
中位数
123
众数
无
最小值
98
最大值
151
极差
53
最大值 − 最小值。
总和
1,230
第一四分位数 Q1
111.75
按所选算法。
第三四分位数 Q3
133.25
按所选算法。
四分位距
21.5
Q3 − Q1。
均值的标准误
5.4181
s ÷ √n。
变异系数
13.93%
s ÷ |平均数|。
标准差计算过程
下面的公式代入了你的数据。
| 步骤 | 计算 |
|---|---|
| 个数 | n = 10 |
| 求和 | Σx = 126 + 98 + 143 + 110 + 135 + 102 + 151 + 120 + 117 + 128 = 1230 |
| 平均数 | x̄ = Σx ÷ n = 1230 ÷ 10 = 123 |
| 离差平方和 | Σ(x − x̄)² = (126 − 123)² + (98 − 123)² + (143 − 123)² + (110 − 123)² + (135 − 123)² + (102 − 123)² + (151 − 123)² + (120 − 123)² + (117 − 123)² + (128 − 123)² = 2642 |
| 总体方差 | σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n = 2642 ÷ 10 = 264.2 |
| 总体标准差 | σ = √σ² = √264.2 = 16.2542 |
| 样本方差 | s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) = 2642 ÷ 9 = 293.556 |
| 样本标准差 | s = √s² = √293.556 = 17.1335 |
离差表
每个数与平均数的差（离差）及其平方，方差就是从这里算出来的。
| 序号 | x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 126 | 3 | 9 |
| 2 | 98 | −25 | 625 |
| 3 | 143 | 20 | 400 |
| 4 | 110 | −13 | 169 |
| 5 | 135 | 12 | 144 |
| 6 | 102 | −21 | 441 |
| 7 | 151 | 28 | 784 |
| 8 | 120 | −3 | 9 |
| 9 | 117 | −6 | 36 |
| 10 | 128 | 5 | 25 |
98, 102, 110, 117, 120, 126, 128, 135, 143, 151分享这组输入：数值写在链接的 # 后面，不会发到服务器。
https://tapcub.com/zh/tools/standard-deviation-calculator
版本 v1.0更新于 更新记录
标准差在告诉你什么
平均数说明数据大致在哪里，标准差说明一个典型的数离平均数有多远。默认示例是一家店铺连续 10 天的日订单数。
样本标准差还是总体标准差
这 10 天只是所有日子里的一段，属于样本，应该报样本标准差 17.13 单。总体标准差 16.25 更小，因为它除以 n 而不是 n − 1；数据越多两者越接近。
平均数 ± 标准差
数据大致呈钟形时，约 68% 的数落在平均数 ± 1 个标准差内，约 95% 落在 ± 2 个标准差内：这里大多数日子在 106 到 140 单之间，几乎所有日子在 89 到 157 单之间。超出这个范围的日子值得查一查。
中位数和四分位数
中位数 123、中间一半的数据在 111.75 到 133.25 之间，它们不受极端值影响。平均数和中位数差得远，说明数据偏斜，标准差会夸大某一侧的波动。
变异系数和标准误
变异系数用来比较单位或量级不同的指标的波动，这里是 13.93%。标准误 5.42 说明平均数估得有多准，不代表每天的波动有多大，两者别混用。
标准差对异常值很敏感。一次爬虫刷量或一笔批发大单，就可能让标准差翻倍。先看排序后的数据和离差表，再解读偏大的标准差。
粘贴、选算法、看结果
没有「计算」按钮，输入就会实时更新。
-
1
粘贴数据
从 Excel、WPS 表格复制一列，或者直接输入用空格隔开的数。全角数字、中文逗号、顿号都能识别。
-
2
需要四分位数时选算法
对照 Excel 的 QUARTILE.INC 选第一项，对照 SPSS 或 QUARTILE.EXC 选第二项，做高中数学题选人教版定义。标准差、平均数、中位数不受这个选项影响。
-
3
报告正确的标准差
除非你的数据就是全部对象（全班每个人、全年每一天），否则用样本标准差。要写解题过程，可以照抄「标准差计算过程」那张表。
标准差的计算公式：离差平方、求平均、开根号
两种标准差都来自同一个离差平方和：每个数减去平均数、平方、加起来。总体标准差除以 n，样本标准差除以 n − 1（贝塞尔校正）。之所以要减 1，是因为样本平均数就是用这批数据算出来的，数据离它总比离真实平均数更近，除以 n 会低估波动。
- 第一步：求平均数 x̄ = Σx ÷ n
- 第二步：每个数减平均数再平方，得到 (x − x̄)²，全部加起来
- 第三步：除以 n（总体方差）或 n − 1（样本方差）
- 第四步：开平方根，就是标准差；方差的单位是原单位的平方
- Excel / WPS：STDEV.S、VAR.S 是样本，STDEV.P、VAR.P 是总体；老函数 STDEV 是样本标准差
总体标准差
σ = √[ Σ(x − μ)² ÷ N ]
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9：μ = 5，Σ(x − μ)² = 32，σ = √(32 ÷ 8) = 2
样本标准差
s = √[ Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ]
同一组数当样本：s = √(32 ÷ 7) = 2.138
标准误和变异系数
标准误 = s ÷ √n 变异系数 = s ÷ |x̄|
标准误 = 2.138 ÷ √8 = 0.756；变异系数 = 2.138 ÷ 5 = 42.8%
10 天日订单的标准差，手算一遍
默认数据：某店连续 10 天的日订单数。平均数 = 1230 ÷ 10 = 123。每个数减去 123 再平方，然后求和。
| 天 | 订单数 x | x − 123 | (x − 123)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 126 | 3 | 9 |
| 2 | 98 | −25 | 625 |
| 3 | 143 | 20 | 400 |
| 4 | 110 | −13 | 169 |
| 5 | 135 | 12 | 144 |
| 6 | 102 | −21 | 441 |
| 7 | 151 | 28 | 784 |
| 8 | 120 | −3 | 9 |
| 9 | 117 | −6 | 36 |
| 10 | 128 | 5 | 25 |
| 合计 | 1230 | 0 | 2642 |
总体：σ² = 2642 ÷ 10 = 264.2，σ = 16.25。样本：s² = 2642 ÷ 9 = 293.56，s = 17.13。离差加起来一定是 0，所以要先平方再相加。示例数据。
标准差常见的几种错用
公式本身不难，难在选对公式、读对结果。
样本数据用了总体公式
问卷回答、一周的访问量、实验组的用户，都是样本。除以 n 会低估波动，数据少于 30 个左右时尤其明显。
把标准误当成标准差报
「平均 123 ± 5.4」看起来很稳，但 5.4 是标准误；每天的实际波动是标准差 17.1。报告里要写清用的是哪个。
不看异常值
一次爬虫刷量、一笔批发单，就能主导离差平方和。先看排序结果；数据偏斜时同时报中位数和四分位距。
拿不同软件的四分位数直接比
同一组数，Excel、SPSS、课本算出的 Q1 可能各不相同。都没有错，只是定义不同。报告里注明算法。
不导出也能看分布和分位数
报表里多数指标是平均值。TapCub 还能直接看数值的分布，平均数背后的波动一眼可见。
标准差的计算公式是什么？
样本标准差 s = √[Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)]，总体标准差 σ = √[Σ(x − μ)² ÷ N]。步骤是：求平均数，每个数减平均数后平方，全部相加，除以 n − 1（样本）或 N（总体），最后开平方根。2、4、4、4、5、5、7、9 这组数：平均数 5，平方和 32，样本标准差 √(32 ÷ 7) = 2.138，总体标准差 √(32 ÷ 8) = 2。
样本标准差和总体标准差用哪个？
实际工作中几乎都用样本标准差：问卷受访者、实验组、几周的数据都是从更大的总体里抽出来的。只有数据包含你要描述的全部对象时（比如全班 40 名同学的成绩、一个团队的所有员工）才用总体公式。
为什么课本上除以 n，Excel 的 STDEV 却除以 n − 1？
高中数学教材（如人教 A 版）把方差定义为离差平方和除以 n，是为了先讲清概念；统计学和 Excel 的 STDEV / STDEV.S 用 n − 1，是因为它是总体方差的无偏估计。做课本习题按课本，用数据下结论时用 n − 1。本计算器两种都给。
方差和标准差有什么区别？
方差是离差平方的平均，标准差是方差的平方根。标准差和原数据同单位（单、元、秒），更直观；方差在合并几个独立波动来源时可以直接相加。
标准差多大算正常？
没有统一标准，要看单位和平均数的大小。比较不同指标的波动用变异系数（标准差 ÷ 平均数）；判断某个数是否异常，看它离平均数有几个标准差，钟形分布下超过 2–3 个就很少见。
为什么我算的四分位数和 Excel 不一样？
四分位数有好几种定义。Excel 的 QUARTILE、QUARTILE.INC 用含端点的线性插值；QUARTILE.EXC 和 SPSS 用不含端点的插值；人教版教材按「n × p% 取整」的百分位数定义。在计算器里选对应算法即可，标准差、平均数、中位数不受影响。
标准误和标准差有什么不同？
标准差描述单个数据有多分散；标准误（标准差 ÷ √n）描述平均数估得有多准，样本越大标准误越小。描述数据用标准差，做置信区间和检验用标准误。