免费工具 抽样误差计算公式与误差范围计算器
「52% 的会员更喜欢新方案，误差 ±3 个百分点」，这个 ±3 是怎么来的？填上有多少人作答、得到的比例是多少，就能算出抽样误差、对应的区间，以及样本量增加时误差怎样缩小。
- 90% / 95% / 99% 置信
- 有限总体校正
- 本地计算
填入你的样本
样本量用有效回答的人数。比例保持 50% 时误差最大，也最保守。
有效回答或观测的数量，支持千分位和「1.2万」写法。
调查和民调一般用 95%。
比如 52%。保持 50% 会得到最大的误差，对问卷里每道题都成立。
样本占总体比例不小时才需要填，比如 1200 名员工里调查了 300 人。
抽样误差（±）
3.10%
比例上下各多少个百分点。
区间下限
46.90%
区间上限
53.10%
z 值
1.960
对应所选置信水平。
不同样本量的抽样误差
比例和总体不变；你的样本量已标出。
| 样本量 | 90% 置信 | 95% 置信 | 99% 置信 |
|---|---|---|---|
| 100 | ±8.22% | ±9.80% | ±12.88% |
| 200 | ±5.82% | ±6.93% | ±9.11% |
| 300 | ±4.75% | ±5.66% | ±7.44% |
| 400 | ±4.11% | ±4.90% | ±6.44% |
| 500 | ±3.68% | ±4.38% | ±5.76% |
| 600 | ±3.36% | ±4.00% | ±5.26% |
| 800 | ±2.91% | ±3.46% | ±4.55% |
| 1,000 | ±2.60% | ±3.10% | ±4.07% |
| 1,500 | ±2.12% | ±2.53% | ±3.33% |
| 2,000 | ±1.84% | ±2.19% | ±2.88% |
| 3,000 | ±1.50% | ±1.79% | ±2.35% |
| 5,000 | ±1.16% | ±1.39% | ±1.82% |
| 10,000 | ±0.82% | ±0.98% | ±1.29% |
计算过程
| 步骤 | 计算 |
|---|---|
| 95% 置信水平的 z 值 | z = 1.9600 |
| 比例的标准误 | √(p(1 − p) ÷ n) = √(0.5 × 0.5 ÷ 1000) = 0.0158114 |
| 抽样误差 | e = z × √(p(1 − p) ÷ n) = 1.9600 × 0.0158114 = 0.0309898 |
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https://tapcub.com/zh/tools/margin-of-error-calculator
版本 v1.0更新于 更新记录
「误差 ±3 个百分点」是什么意思
示例：1000 人作答，一半人选「是」。95% 置信水平下抽样误差是 ±3.10 个百分点。
抽样误差
如果用新的随机样本把调查重复很多次，大约 95% 的区间会包含真实比例。单位是百分点，不是结果的百分之几：50% ± 3.1 就是 46.9% 到 53.1%。
区间上下限
真实比例的合理范围。要比较的门槛值或竞品数字如果落在这个范围内，这次调查分辨不出两者的高低。
比例
比例在 50% 时误差最大，越靠近 0% 或 100% 越小：1000 人时，50% 为 ±3.10，30% 为 ±2.84，10% 为 ±1.86。报告里写 50% 时的误差，能覆盖问卷的所有题目。
样本量对照表
精度随样本量的平方根提高：样本变成 4 倍，误差减半。400 人 ±4.90，1600 人 ±2.45。超过几千人后，再加样本收益很小。
抽样误差只包括随机抽样带来的误差。诱导性的题目、自愿参与的样本、不回答的人和回答的人不一样，这些偏差都不在其中，而且往往更大。
两个数，一个选择
输入时实时更新结果。
-
1
填样本量
数你要报告的那道题的有效回答人数，不是发出去的问卷数。
-
2
填比例
填你要报告的结果；想给整份问卷一个统一的误差，就保持 50%。
-
3
总体小就填总体人数
调查了已知人群的 5% 以上时，填上总体人数会让误差变小。再看对照表，评估加样本能换来多少精度。
z 值 × 标准误，小总体再做校正
抽样误差等于置信水平对应的 z 值乘以比例的标准误。样本占有限总体的比例较大时，用有限总体校正系数把它缩小。
- z 值：90% 为 1.645，95% 为 1.960，99% 为 2.576
- 用正态近似（Wald）公式，这是调查报告里误差范围的通行算法
- 样本小或比例接近 0%、100% 时，Wilson 区间更准确
- 误差要减半，样本量要变成 4 倍
抽样误差
e = z × √( p(1 − p) ÷ n )
n = 1000、p = 50%、95%：1.96 × √(0.25 ÷ 1000) = 1.96 × 0.0158 = ±3.10%
有限总体校正
e = z × √( p(1 − p) ÷ n ) × √( (N − n) ÷ (N − 1) )
同样 1000 人，总体 N = 5000：× 0.8945 → ±2.77%
95%、p = 50% 时的速算
e ≈ 1 ÷ √n
n = 1000：1 ÷ 31.6 ≈ ±3.2%
常见样本量的抽样误差
95% 置信水平、总体很大。50% 那一列就是调查报告里常说的误差；其它列说明结果越不均衡，误差越小。
| 样本量 | p = 50% | p = 30% 或 70% | p = 10% 或 90% |
|---|---|---|---|
| 100 | ±9.80% | ±8.98% | ±5.88% |
| 400 | ±4.90% | ±4.49% | ±2.94% |
| 1,000 | ±3.10% | ±2.84% | ±1.86% |
| 1,600 | ±2.45% | ±2.25% | ±1.47% |
| 2,500 | ±1.96% | ±1.80% | ±1.18% |
| 10,000 | ±0.98% | ±0.90% | ±0.59% |
e = 1.95996 × √(p(1 − p) ÷ n)。n = 100、p = 10% 时较少的一侧预计只有 10 人，正态近似开始变粗。示例数值。
抽样误差常被怎么误读
公式是标准的，问题出在怎么用这个数。
拿总体误差套小组结果
1000 人的误差是 ±3.1%，拆到 100 人的小组就变成约 ±9.8%。每个细分都要单独算误差。
用一个误差比较两个结果
两组之差的误差比单组更大，两组人数相同时约为单组的 √2 倍。52% 对 48%、各自 ±3.1%，并不能说明明显领先。
把百分点当成百分比
±3 指的是百分点：50% 的区间是 47% 到 53%，不是 48.5% 到 51.5%。
把它当成全部误差
一万人自愿参与的网络投票，抽样误差很小，结果却可能偏得厉害。抽样误差的前提是随机样本。
数据先干净，误差才有意义
你报告的大多数百分比来自统计数据而不是问卷。TapCub 让分母保持真实，剩下的不确定性就只有抽样误差。
抽样误差计算公式是什么？
e = z × √(p(1 − p) ÷ n)，z 是置信水平对应的值（95% 时 1.96），p 是调查得到的比例，n 是样本量。1000 人、p = 50%、95% 置信：1.96 × √(0.25 ÷ 1000) = 0.031，即 ±3.1 个百分点。总体不大时再乘以 √((N − n) ÷ (N − 1))。
抽样误差多大算合适？
要看用来做什么决定。公开发布的民调一般做到 ±3%（约 1000 人），内部调研常接受 ±5%（约 385 人）。要比较的选项之间的差距如果小于误差，就需要更大的样本。
为什么比例在 50% 时误差最大？
比例的方差 p(1 − p) 在 p = 0.5 时最大。接近 50% 的结果最不确定；接近 0% 或 100% 的结果，同样样本量下误差更小。
总体人数会影响抽样误差吗？
只有样本占总体比例不小时才会。5000 人里调查 1000 人，误差 ±2.77%，而不是 ±3.10%；100 万人里调查 1000 人仍是 ±3.10%。总体很大时可以忽略。
要做到 ±5% 需要多少样本？
95% 置信水平、总体很大时约 385 份，总体小则更少。任意误差、总体和回收率都可以用问卷样本量计算器算。
抽样误差和置信区间是一回事吗？
抽样误差是置信区间宽度的一半。本页用调查报告通行的正态（Wald）公式；样本小或比例很极端时，置信区间计算器用的 Wilson 区间更准确。
怎样减小抽样误差？
增加样本量，或者接受更低的置信水平。精度提高一倍要 4 倍样本。改进抽样方法不会让这个数变小，但能减少偏差，而偏差是抽样误差反映不出来的。