免费工具 相关系数 r 的计算公式与线性回归计算器
从 Excel 或 WPS 复制 x、y 两列数据粘进来，马上得到最小二乘回归方程、两者一起变化的程度（皮尔逊相关系数 r 和 R²）、斜率是否显著（标准误、t 值、P 值）、带区间的预测、斯皮尔曼等级相关，以及一张散点图，先看看用直线描述到底合不合适。
- 回归方程、r、R²、P 值
- 散点图
- 本地计算
粘贴 x 和 y
边输入边出结果。第一行是表头时会作为坐标轴名称；两个数前面的文字会被忽略。
每行一对，x 在前。用逗号、Tab 或空格隔开；从 Excel、WPS 复制相邻两列可以直接粘贴。只有用 Tab 分隔时才能用千分位逗号。
可不填。多个值用逗号隔开。
用于各个区间。
回归方程
y = 22.4637x + 75.58 R² = 0.824202
最小二乘法，和 Excel 线性趋势线是同一条线。
计算结果
r = 0.9079：强正线性相关（P < 0.0001）。相关强不等于有因果关系。
相关系数 r
0.90786
方向和强弱，−1 到 1。
R²（决定系数）
0.8242
y 的变化中能被回归线解释的比例。
斜率 b̂
22.464
x 每增加 1，y 平均变化多少。
截距 â
75.58
x = 0 时的拟合值。
P 值
< 0.0001
双尾，检验斜率 = 0（等价于 r = 0）。
数据对数 n
12
斜率标准误
3.2807
截距标准误
13.56
t 值
6.847
自由度 10
残差标准误
14.724
点到回归线的典型距离。
斜率的 95% 置信区间
15.154 ~ 29.774
r 的 95% 置信区间
0.69722 ~ 0.97419
Fisher z 变换。
F 值
46.883
一元回归中等于 t²。
斯皮尔曼 ρ
0.88112
等级相关系数。
ρ 的 P 值
0.0002
t 近似。
散点图
每个点是一对数据，橙线是最小二乘回归线，菱形是你要预测的点。
预测
置信区间是这个 x 下 y 的平均值的范围；预测区间是单个新观测值的范围，总是更宽。
| x | 预测 y | 置信区间（平均值） | 预测区间 | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 187.898 | 175.592 ~ 200.205 | 152.859 ~ 222.938 |
计算过程
相关系数的两种写法都代入了你的数据。
| 步骤 | 计算 |
|---|---|
| 数据对数 | n = 12 |
| 平均数 | x̄ = 47.1 ÷ 12 = 3.925 ȳ = 1965 ÷ 12 = 163.75 |
| 离差平方和与离差积和 | Sxx = Σ(x − x̄)² = 20.1425 Syy = Σ(y − ȳ)² = 12332.3 Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 452.475 |
| 相关系数 r（定义式） | r = Sxy ÷ √(Sxx·Syy) = 452.475 ÷ √(20.1425 × 12332.3) = 0.907856 |
| 相关系数 r（计算式） | r = (nΣxy − ΣxΣy) ÷ √{[nΣx² − (Σx)²][nΣy² − (Σy)²]} Σx = 47.1, Σy = 1965, Σxy = 8165.1, Σx² = 205.01, Σy² = 334101 |
| 斜率 b̂ | b = Sxy ÷ Sxx = 452.475 ÷ 20.1425 = 22.4637 |
| 截距 â | a = ȳ − b·x̄ = 163.75 − 22.4637 × 3.925 = 75.58 |
| 决定系数 R² | R² = r² = 0.824202 SSE = Σ(y − ŷ)² = 2167.99 |
| 残差标准误、斜率标准误 | s = √(SSE ÷ (n − 2)) = √(2167.99 ÷ 10) = 14.7241 SE(b) = s ÷ √Sxx = 3.28074 |
| 斜率（也是 r）的 t 检验 | t = b ÷ SE(b) = 22.4637 ÷ 3.28074 = 6.84714 df = n − 2 = 10 p < 0.0001 |
| 斯皮尔曼 ρ（无相同名次） | ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)] = 1 − 6 × 34 ÷ (12 × 143) = 0.881119 |
残差
残差 = 实际值 − 拟合值。残差 ÷ s 超过 ±2 的会标出来；残差有规律说明直线不是合适的模型。
| 序号 | x | y | 拟合值 ŷ | 残差 | 残差 ÷ s |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.1 | 126 | 122.754 | 3.24625 | 0.220 |
| 2 | 3.4 | 148 | 151.957 | −3.95656 | −0.269 |
| 3 | 1.8 | 109 | 116.015 | −7.01465 | −0.476 |
| 4 | 4.6 | 171 | 178.913 | −7.91299 | −0.537 |
| 5 | 3.9 | 186 | 163.188 | 22.8116 | 1.549 |
| 6 | 5.2 | 183 | 192.391 | −9.39121 | −0.638 |
| 7 | 2.7 | 152 | 136.232 | 15.768 | 1.071 |
| 8 | 4.1 | 150 | 167.681 | −17.6811 | −1.201 |
| 9 | 6 | 214 | 210.362 | 3.63783 | 0.247 |
| 10 | 3 | 128 | 142.971 | −14.9711 | −1.017 |
| 11 | 5.5 | 191 | 199.13 | −8.13032 | −0.552 |
| 12 | 4.8 | 207 | 183.406 | 23.5943 | 1.602 |
分享这组输入：数值写在链接的 # 后面，不会发到服务器。
https://tapcub.com/zh/tools/linear-regression-calculator
版本 v1.0更新于 更新记录
广告花费和订单数的回归结果说明了什么
默认数据：某店 12 周的广告花费（千元）和订单数。
回归方程
y = 22.46x + 75.58：广告花费每多 1 千元，周订单平均多约 22.5 单。截距 75.6 是回归线在花费为 0 时的值，但数据最少也有 1.8 千元，所以别把它当成「不投广告能有多少单」的预测。
r 和 R²
r = 0.908，属于强正线性相关。R² = 0.824，表示订单数每周的波动里有 82% 能用这条直线解释，剩下 18% 来自其他因素：季节、促销、随机波动。
标准误、t 值和 P 值
斜率的标准误是 3.28，t = 22.46 ÷ 3.28 = 6.85，自由度 10，P = 0.00004。斜率的 95% 置信区间是每千元 15.2 到 29.8 单，离 0 很远。
预测
花 5 千元时回归线预测 188 单。这个花费下的平均周订单大概在 176 到 200 之间（置信区间），但具体某一周可能在 153 到 223 之间（预测区间）。做计划时按更宽的那个。
这些都不能证明是广告带来了订单。如果旺季本来就多投广告，花费和订单会一起涨，但不是谁推动了谁。要衡量效果，可以有意识地调整预算做对比，或者看每笔订单的归因。
粘贴、先看图、再看数字
没有「计算」按钮，输入就会实时更新。
-
1
粘贴两列数据
x 在前、y 在后，每行一对。从 Excel、WPS 复制相邻两列，得到的是 Tab 分隔的文本，可以直接用。第一行是表头时会作为坐标轴名称。
-
2
先看散点图
如果点是弯的、越来越散，或者靠一个点撑起来，r 和 P 值描述的就是错误的模型。点 Anscombe 按钮可以载入两组经典数据，它们的 r 和一组整齐的数据完全一样。
-
3
读结果、做预测、抄过程
用 r 和 R² 看强弱，用斜率及其区间看幅度，再填 x 做预测。要写解题过程，可以照抄「计算过程」表。
相关系数 r 的计算公式和回归方程
高中数学「成对数据的统计分析」里的样本相关系数和一元线性回归方程，都从同几个量出发：平均数 x̄、ȳ，以及 Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)。相关系数把 Sxy 缩放到 −1 到 1；最小二乘斜率是 Sxy 除以 Sxx。斜率的 t 检验和相关系数的 t 检验结果完全相同。
- 相关系数 r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ √[Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²]
- 计算式：r = (nΣxy − ΣxΣy) ÷ √{[nΣx² − (Σx)²][nΣy² − (Σy)²]}，手算或用计算器时更方便
- 回归方程 ŷ = b̂x + â：b̂ = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)²，â = ȳ − b̂x̄；一元回归中 R² = r²
- 显著性：t = r√(n − 2) ÷ √(1 − r²) = b̂ ÷ SE(b̂)，自由度 n − 2
- 斯皮尔曼 ρ 是对名次求的皮尔逊 r；没有相同名次时 ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)]
- 强弱的说法参考 Cohen（1988）的惯例：|r| 约 0.1 为小、0.3 为中、0.5 以上为大，只是粗略参考
- 计算结果已对照美国 NIST 统计参考数据集 Norris 的认证值（斜率、截距、标准误、R²）
相关系数 r
r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ √[Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²]
默认数据：r = 0.908
最小二乘回归方程
b̂ = Sxy ÷ Sxx，â = ȳ − b̂x̄
ŷ = 22.46x + 75.58
斜率的 t 检验
t = b̂ ÷ SE(b̂)，自由度 n − 2
22.46 ÷ 3.28 = 6.85，P = 0.00004
Anscombe 四重奏：数字一样，图完全不同
1973 年统计学家 Francis Anscombe 发表了四组各 11 个点的数据，回归结果几乎一模一样，只有画成散点图才看得出区别。上面的按钮可以直接载入第二、三组。
| 数据组 | 斜率 | 截距 | r | 散点图上看到的 |
|---|---|---|---|---|
| 第一组 | 0.500 | 3.00 | 0.816 | 有波动的直线趋势：模型合适 |
| 第二组 | 0.500 | 3.00 | 0.816 | 一条光滑曲线：直线形状不对 |
| 第三组 | 0.500 | 3.00 | 0.816 | 几乎完美的直线，只有一个点把它拉歪 |
| 第四组 | 0.500 | 3.00 | 0.817 | 十个点都在 x = 8，斜率全靠远处那一个点 |
出处：F. J. Anscombe，“Graphs in Statistical Analysis”，The American Statistician 27(1)，1973。本计算器能复现这些数字，残差表和散点图会暴露它们的区别。
相关系数常见的几种过度解读
公式是精确的，出错多在解读上。
把相关当成因果
广告花费和订单、流量和收入、页面速度和转化率常常一起变化，是因为背后有共同的原因。r 很高是去做实验的理由，不是结论。
不看散点图
曲线、喇叭形，或者一个强影响点，都可能算出很高的 r。Anscombe 四重奏就是经典例子：四组数据，同一个 r，四种完全不同的图。
在数据范围外做预测
用 1.8 千到 6 千元拟合出来的直线，说明不了花 2 万元会怎样。营销投入边际效果递减才是常态。
P 值小就当成强相关
数据有几千个点时，r = 0.05 也能「显著」，却只解释了 0.25% 的变化。报告时把 r 或 R² 和 P 值一起写。
从相关性追到真正带来回报的渠道
用每周汇总数据做回归只是第一步。TapCub 保留原始事件，问题可以一路追到渠道和具体用户。
相关系数 r 的计算公式是什么？
r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ √[Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²]：每个 x、y 分别减去各自的平均数，对应相乘再求和，除以两组离差平方和乘积的平方根。等价的计算式是 r = (nΣxy − ΣxΣy) ÷ √{[nΣx² − (Σx)²][nΣy² − (Σy)²]}。「计算过程」表把两种写法都代入了你的数据。
线性回归方程计算公式是什么？
最小二乘回归方程 ŷ = â + b̂x，斜率 b̂ = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)² = Sxy ÷ Sxx，截距 â = ȳ − b̂x̄。默认数据（12 周广告花费与订单数）：x̄ = 3.925，ȳ = 163.75，Sxy = 452.475，Sxx = 20.1425，所以 b̂ = 452.475 ÷ 20.1425 = 22.464，â = 163.75 − 22.464 × 3.925 = 75.58，回归方程 ŷ = 22.46x + 75.58，花费 5 千元时预测约 188 单。和相关系数不同，斜率有单位（每千元多少单），x、y 互换后会变。
相关系数多大算强相关？
|r| 越接近 1，线性相关越强；越接近 0 越弱。常用的说法来自 Cohen（1988）：0.1 左右为小，0.3 左右为中，0.5 以上为大，正负方向一样。测量很精确的领域里 0.9 也可能算弱。一定要配合散点图看：这个说法只描述直线关系。
相关系数 r 和 R² 有什么区别？
r 是相关系数，范围 −1 到 1，带方向；R² 是决定系数，表示 y 的变化中能被回归线解释的比例，范围 0 到 1。一元线性回归中 R² = r²，所以 r = 0.9 解释 81%，r = 0.5 只解释 25%。
相关系数显著吗？P 值是怎么来的？
用斜率的 t 检验：t = b̂ ÷ SE(b̂)，自由度 n − 2，双尾。它检验的是真实斜率（也就是真实相关系数）是否为 0，前提是各点相互独立、残差大致正态且波动均匀。
皮尔逊和斯皮尔曼相关系数用哪个？
皮尔逊衡量数值之间的直线关系；斯皮尔曼用名次衡量 y 是否随 x 单调上升或下降，不怕异常值，也能识别单调的曲线关系。两者差得多时看散点图，通常是有异常点或曲线。
相关就是因果吗？
不是。可能有第三个因素同时影响两者（季节、促销、公司规模），可能因果方向反过来，也可能是做了很多比较后碰巧出现的。相关是去调查的理由，要验证因果，可以做对照实验（比如 A/B 测试）。
Excel 或 WPS 怎么算相关系数和回归方程？
CORREL(x, y) 或 PEARSON 求相关系数，SLOPE(y, x)、INTERCEPT(y, x) 求斜率和截距，RSQ(y, x) 求 R²，STEYX(y, x) 求残差标准误；LINEST(y, x, TRUE, TRUE) 还能给出标准误，FORECAST(x, y, x) 做预测。注意 SLOPE、INTERCEPT 里 y 在前。插入散点图后加「线性趋势线」并勾选「显示公式」「显示 R 平方值」，结果和这里一致。