误差范围：公式、示例和计算方法

什么是误差范围？

误差范围（Margin of Error，也叫边际误差）是从样本估计出来的数字后面那个「正负多少」。它说明：仅仅因为随机抽样，估计值可能离真实值多远。「转化率 4.0% ± 0.8 个百分点，置信水平 95%」的意思是：如果反复测量很多次，按这种方法得到的区间大约有 95% 会包含真实转化率。

误差范围是置信区间宽度的一半：估计值 − 误差范围 到 估计值 + 误差范围。

误差范围公式

比例类指标，比如转化率、点击率、某类用户占比：

误差范围 = z × √( p × (1 − p) ÷ n )

均值类指标，比如客单价：

误差范围 = z × s ÷ √n

• p 是观测到的比例，s 是样本标准差，n 是样本量
• z 由置信水平决定：90% 取 1.645，95% 取 1.96，99% 取 2.576

怎么算：一个转化率的例子

某落地页 2,500 个访客里有 100 人转化，p = 0.04（示例数据）。

1. 标准误：√(0.04 × 0.96 ÷ 2,500) = 0.00392
2. 乘以 95% 对应的 z：1.96 × 0.00392 = 0.0077
3. 误差范围 = ±0.77 个百分点，95% 区间是 3.23% 到 4.77%。

同样 4% 的转化率，样本量不同时：

样本变成 4 倍，误差范围减半。从 ±1.2 缩到 ±0.2 个百分点，需要 40 倍的流量。

均值的例子：400 笔订单，平均 62 美元，标准差 48 美元，误差范围是 1.96 × 48 ÷ √400 = ±4.70 美元。

两个数之差的误差范围

数据分析里多数问题是比较：本周和上周、A 版和 B 版、手机和电脑。差值的误差范围比任何一边单独的都大：

误差范围(p₁ − p₂) = z × √( p₁(1 − p₁)/n₁ + p₂(1 − p₂)/n₂ )

两个页面各 5,000 个访客，转化率分别是 4.0% 和 4.6%。差值 0.6 个百分点，但误差范围是 ±0.80 个百分点，区间从 −0.2 到 +1.4，包含 0，现有数据还分不出两个页面谁好。这和显著性检验是同一个道理，见统计显著性和 p 值。

哪些因素影响误差范围

• 样本量。 误差范围按 √n 缩小。
• 置信水平。 99% 比 95% 的误差范围宽约 31%（2.576 对 1.96）。
• 比例本身。 p × (1 − p) 在 50% 时最大，同样的 n 下，50% 的比例误差范围最宽。比例很低（接近 0）或很高（接近全部）时，误差的百分点数小，但相对误差大。
• 总体规模，有时有影响。 样本占小总体的比例很大时，乘以有限总体校正系数 √((N − n) ÷ (N − 1))。3,000 个客户里调查 500 个，p = 0.5 时误差范围是 ±4.0 个百分点，不校正是 ±4.4。

需要多少访客？

把公式反过来，目标误差范围为 E：

n = z² × p × (1 − p) ÷ E²

想把 4% 的转化率测到 ±0.5 个百分点以内（95% 置信），需要 1.96² × 0.04 × 0.96 ÷ 0.005² ≈ 5,901 个访客；±1 个百分点约 1,476 个。如果是规划一个要检测出特定提升的实验，应该用最小可检测效应和统计功效来算。

误差范围管不到的事

误差范围只衡量随机抽样误差，不管下面这些：

• 有偏的样本： 只有满意客户回答的问卷，或者漏掉了屏蔽脚本的访客。见抽样偏差。
• 测量误差： 机器人被算成真人、事件重复、时区错了。
• 不独立的数据： 同一个用户的多次事件被当成多个独立观测。以用户为单位的问题，就数用户，不数事件。

网站统计数据也有误差范围吗？

统计了每一次访问的报表不是抽样调查，从这个角度说没有抽样。但只要你把本周的数字当作「网站一般表现」的证据，误差范围就有意义：对比时间段、分群或版本，或者判断一个小分群的转化率是不是真的高。一个只有 300 个访客、转化率 4% 的分群，误差范围约 ±2.2 个百分点，宽到「转化率最高的分群」常常只是噪声。

如果统计工具先抽样再出报表，抽样本身还会再加一层误差，见数据抽样。TapCub 按全部采集到的事件出报表，不做抽样，所以要考虑的就是本文讲的统计误差。

参考资料

• Pew Research Center. 5 key things to know about the margin of error in election polls.
• OpenStax. Introductory Statistics, chapter 8: Confidence Intervals.
• NIST/SEMATECH. e-Handbook: confidence limits for the mean.