四分位距（IQR）：怎么算、计算示例和离群值判断

什么是四分位距？

四分位距（Interquartile Range，IQR）是数据中间那一半的跨度：上四分位数（Q3，第 75 百分位）减去下四分位数（Q1，第 25 百分位）。

IQR = Q3 − Q1

它不看最低的 25% 和最高的 25%，所以几个极端值几乎影响不到它。会话时长、订单金额、页面加载时间这类偏态数据，少数特别大的值会把极差和标准差拉得很离谱，四分位距就成了描述离散程度的常用指标。

四分位距怎么算

1. 把数值从小到大排序。
2. 找中位数（Q2），它把数据分成下半部分和上半部分。
3. 找 Q1（下半部分的中间）和 Q3（上半部分的中间）。
4. 相减：IQR = Q3 − Q1。

计算示例：会话时长

定价页上 12 次会话的时长（秒，示例数据）：

12, 18, 25, 31, 40, 44, 52, 61, 75, 90, 140, 610

中位数是第 6、7 个数的平均：(44 + 52) ÷ 2 = 48 秒。按大多数表格软件和 Python 默认的方法（线性插值，Excel 的 QUARTILE.INC）：

• Q1 = 29.5 秒
• Q3 = 78.75 秒
• IQR = 78.75 − 29.5 = 49.25 秒

同一组数据的平均数是 99.8 秒，标准差 164.5 秒。一个 610 秒的会话（大概是标签页开着没关）让平均数翻了一倍还多，而中位数和四分位距描述的仍是一次普通访问的样子。

去掉 610 秒那一条再算：平均数从 99.8 降到 53.5 秒（−46%），中位数从 48 变成 44，四分位距从 49.25 变成 40。四分位距也会变，但幅度比平均数小得多。

为什么不同工具算出的四分位数不一样

四分位数有好几种公认的算法，小样本时结果不同。Hyndman 和 Fan（1996）列了九种。用上面 12 个会话：

哪种都不算错。数据量大时差别几乎消失；样本小的时候，要写明用了哪种，前后对比也要用同一种。

用四分位距找离群值

Tukey 规则：落在下面范围之外的值，标记为可能的离群值。

下限 = Q1 − 1.5 × IQR
上限 = Q3 + 1.5 × IQR

示例里，上限是 78.75 + 1.5 × 49.25 = 152.6 秒。610 秒那次会话被标出来，140 秒的没有。下限是负数，所以低端没有标出任何值。

被标记只是提出一个问题，不等于直接删掉。610 秒可能是闲置的标签页，也可能是认真比较套餐的买家。删之前先看看那次会话；想限制极端值的影响又不丢数据，可以看数据里的离群值和缩尾处理。

四分位距、极差和标准差

四分位距和中位数是一对，就像标准差和平均数是一对。箱线图画的正是这几个数：箱子从 Q1 到 Q3，中间那条线是中位数，两根须延伸到上下限。

在数据分析里哪里用到

• 页面停留时间、会话时长，几乎都有一条长长的右尾。
• 页面性能。 性能团队报第 75 百分位（Q3）而不是平均数，Google 的 Core Web Vitals 阈值就是按 P75 判定，见百分位数。
• 订单金额、人均收入，描述普通客户时不被少数大客户带偏。

在 TapCub 里，分布报表按区间展示一个指标在用户或会话之间怎么分布；性能卡片可以在 P75、P95、中位数和平均值之间切换，看分布的中间，而不是被几个慢页面拉高的平均数。和四分位距一起值得报告的其他指标，见描述统计。

参考资料

• Hyndman, R. J. and Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4).
• NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods: percentiles.
• Microsoft. QUARTILE.INC 函数.
• Google. Web Vitals：阈值按第 75 百分位评估.